బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను గణిత కార్యకలాపాలలో అక్షరాలు, సంకేతాలు మరియు సంఖ్యల కలయిక అంటారు. సాధారణంగా అక్షరాలు తెలియని పరిమాణాలను సూచిస్తాయి మరియు వాటిని వేరియబుల్స్ లేదా తెలియనివి అంటారు. బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు సాధారణ భాష యొక్క గణిత భాషా వ్యక్తీకరణలకు అనువాదాలను అనుమతిస్తాయి. బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు తెలియని విలువలను అక్షరాల ద్వారా సూచించే సంఖ్యలుగా అనువదించే బాధ్యత నుండి ఉత్పన్నమవుతాయి. సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలు కనిపించే ఈ వ్యక్తీకరణల అధ్యయనానికి బాధ్యత వహించే గణిత శాస్త్ర విభాగం, అలాగే గణిత కార్యకలాపాల సంకేతాలు బీజగణితం.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి
విషయ సూచిక
ఇంతకు ముందు చెప్పినట్లుగా, ఈ కార్యకలాపాలు అక్షరాలు, సంఖ్యలు మరియు సంకేతాల కలయిక కంటే మరేమీ కాదు, తరువాత వేర్వేరు గణిత కార్యకలాపాలలో ఉపయోగించబడతాయి. బీజగణిత వ్యక్తీకరణలలో, అక్షరాలు సంఖ్యల ప్రవర్తనను కలిగి ఉంటాయి మరియు అవి ఆ కోర్సు తీసుకున్నప్పుడు, ఒకటి మరియు రెండు అక్షరాల మధ్య ఉపయోగించబడతాయి.
మీకు ఉన్న వ్యక్తీకరణతో సంబంధం లేకుండా, మొదట చేయవలసినది సరళీకృతం, ఇది సంఖ్యా లక్షణాలకు సమానమైన ఆపరేషన్ లేదా ఆపరేషన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించి సాధించబడుతుంది. బీజగణిత ఆపరేషన్ యొక్క సంఖ్యా విలువను కనుగొనడానికి, మీరు అక్షరానికి నిర్దిష్ట సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి.
ఈ వ్యక్తీకరణలపై అనేక వ్యాయామాలు చేయవచ్చు మరియు ప్రశ్నార్థకమైన విషయంపై అవగాహన మెరుగుపరచడానికి ఈ విభాగంలో చేయబడుతుంది.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
బీజగణిత భాష
బీజగణిత భాష అంటే సంఖ్యలను సూచించడానికి చిహ్నాలు మరియు అక్షరాలను ఉపయోగిస్తుంది. అంకెలు మరియు వాటి ప్రాథమిక అంకగణిత కార్యకలాపాలు (+ -x%) మాత్రమే జరిగే అంకగణితంలో జరిగే వివిధ కార్యకలాపాలను సాధారణీకరించడానికి సహాయపడే భాషను స్థాపించడం మరియు నిర్మించడం దీని ప్రధాన విధి.
బీజగణిత భాష అంకగణితంలో అభివృద్ధి చేయబడిన విభిన్న కార్యకలాపాలను సాధారణీకరించడానికి సహాయపడే భాషను స్థాపించడం మరియు రూపకల్పన చేయడం లక్ష్యంగా ఉంది, ఇక్కడ సంఖ్యలు మరియు వాటి ప్రాథమిక గణిత కార్యకలాపాలు మాత్రమే ఉపయోగించబడతాయి: అదనంగా (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (x) మరియు విభజన (/).
బీజగణిత భాష దాని ఖచ్చితత్వంతో వర్గీకరించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఇది సంఖ్యా భాష కంటే చాలా కాంక్రీటు. దాని ద్వారా, వాక్యాలను క్లుప్తంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణ: 3 యొక్క గుణకాల సమితి (3, 6, 9, 12…) 3n వ్యక్తీకరించబడింది, ఇక్కడ n = (1, 2, 3, 4…).
ఇది తెలియని సంఖ్యలను వ్యక్తీకరించడానికి మరియు వారితో గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణ, రెండు సంఖ్యల మొత్తం ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది: a + b. సాధారణ సంఖ్యా లక్షణాలు మరియు సంబంధాల వ్యక్తీకరణకు మద్దతు ఇస్తుంది.
ఉదాహరణ: మార్పిడి ఆస్తి ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది: axb = bx a. ఈ భాషను ఉపయోగించి వ్రాసేటప్పుడు, తెలియని పరిమాణాలను సాధారణ చిహ్నాలతో వ్రాయడానికి మార్చవచ్చు, సిద్ధాంతాలను సరళీకృతం చేయడానికి, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను రూపొందించడానికి మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో అధ్యయనం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది.
బీజగణిత సంకేతాలు మరియు చిహ్నాలు
బీజగణితంలో, సమితి సిద్ధాంతంలో చిహ్నాలు మరియు సంకేతాలు రెండూ ఉపయోగించబడతాయి మరియు ఇవి సమీకరణాలు, సిరీస్, మాత్రికలు మొదలైనవి. అక్షరాలు వ్యక్తీకరించబడతాయి లేదా వేరియబుల్స్ అని పేరు పెట్టబడతాయి, ఎందుకంటే ఒకే అక్షరం ఇతర సమస్యలలో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దాని విలువ వేర్వేరు వేరియబుల్స్ను కనుగొంటుంది. వర్గీకరణ బీజగణిత వ్యక్తీకరణలలో కొన్ని క్రిందివి:
బీజగణిత భిన్నాలు
ఒక బీజగణిత భిన్నాన్ని సంఖ్యా భిన్నాలకు సమానమైన ప్రవర్తనను చూపించే రెండు బహుపదాల యొక్క మూలకం ద్వారా సూచించబడుతుంది. గణితంలో, గుణకారం మరియు విభజన చేయడం ద్వారా మీరు ఈ భిన్నాలతో పనిచేయవచ్చు. అందువల్ల, బీజగణిత భిన్నం రెండు బీజగణిత వ్యక్తీకరణల యొక్క కోటీన్ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుందని వ్యక్తీకరించాలి, ఇక్కడ న్యూమరేటర్ డివిడెండ్ మరియు హారం డివైజర్.
బీజగణిత భిన్నాల లక్షణాలలో, హారం అదే సున్నా కాని పరిమాణంతో విభజించబడి లేదా గుణించబడితే, భిన్నం మార్చబడదు. బీజగణిత భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడం అనేది దానిని ఇకపై తగ్గించలేని భిన్నంగా మార్చడం, సంఖ్యా మరియు హారం తయారుచేసే బహుపదాలను కారకం చేయడానికి అవసరం.
వర్గీకరణ బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు ఈ క్రింది రకాల్లో ప్రతిబింబిస్తాయి: సమానమైన, సరళమైన, సరైన, సరికాని, న్యూమరేటర్ లేదా శూన్య హారం. అప్పుడు మేము ప్రతి ఒక్కటి చూస్తాము.
సమానమైనవి
క్రాస్ ప్రొడక్ట్ ఒకటే అయినప్పుడు, భిన్నాల ఫలితం ఒకేలా ఉన్నప్పుడు మీరు ఈ అంశాన్ని ఎదుర్కొంటున్నారు. ఉదాహరణకు, ఈ రెండు బీజగణిత భిన్నాలలో: 2 * 10 = 5 * 4 ఉంటే 2/5 మరియు 4/10 సమానంగా ఉంటాయి.
సరళమైనది
అవి న్యూమరేటర్ మరియు హారం పూర్ణాంక హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను సూచిస్తాయి.
స్వంతం
అవి సాధారణ భిన్నాలు, దీనిలో హారం హారం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
సరికానిది
అవి సరళమైన భిన్నాలు, దీనిలో లెక్కింపు హారం కంటే సమానం లేదా అంతకంటే ఎక్కువ.
మిశ్రమ
అవి న్యూమరేటర్, హారం లేదా రెండింటిలో ఉన్న ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాల ద్వారా ఏర్పడతాయి.
శూన్య సంఖ్య లేదా హారం
విలువ 0 అయినప్పుడు సంభవిస్తుంది. 0/0 భిన్నం ఉన్న సందర్భంలో, అది అనిశ్చితంగా ఉంటుంది. గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి బీజగణిత భిన్నాలను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, సంఖ్యా భిన్నాలతో కూడిన ఆపరేషన్ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, ఉదాహరణకు, హారం వేర్వేరు అంకెలు ఉన్నప్పుడు తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ను ప్రారంభించాలి.
విభజన మరియు గుణకారం రెండింటిలోనూ, కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి మరియు సంఖ్యా భిన్నాల మాదిరిగానే జరుగుతాయి, ఎందుకంటే వీటిని గతంలో సాధ్యమైనప్పుడల్లా సరళీకృతం చేయాలి.
మోనోమియల్స్
మోనోమియల్స్ విస్తృతంగా ఉపయోగించే బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు, వీటిని స్థిరంగా గుణకం మరియు అక్షర భాగం అని పిలుస్తారు, ఇది అక్షరాల ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది మరియు వివిధ శక్తులకు పెంచవచ్చు. ఉదాహరణకు, మోనోమియల్ 2x² కి 2 దాని గుణకం మరియు x² అక్షర భాగం.
అనేక సందర్భాల్లో, అక్షర భాగం తెలియని గుణకారంతో తయారవుతుంది, ఉదాహరణకు 2xy విషయంలో. ఈ అక్షరాలను ప్రతి అనిశ్చిత లేదా వేరియబుల్ అంటారు. మోనోమియల్ అనేది ఒకే పదంతో ఒక రకమైన బహుపది, అదనంగా, ఇలాంటి మోనోమియల్స్ ముందు ఉండే అవకాశం ఉంది.
మోనోమియల్స్ యొక్క అంశాలు
మోనోమియల్ 5x ^ 3 ఇవ్వబడింది; కింది అంశాలు వేరు చేయబడ్డాయి:
- గుణకం: 5
- సాహిత్య భాగం: x ^ 3
మోనోమియల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి గుణకం, ఇది అక్షర భాగాన్ని గుణించడం ద్వారా కనిపించే సంఖ్యను సూచిస్తుంది. సాధారణంగా ఇది ప్రారంభంలో ఉంచబడుతుంది. మోనోమియల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి 1 విలువను కలిగి ఉంటే, అది వ్రాయబడదు మరియు ఇది ఎప్పటికీ సున్నా కాదు, ఎందుకంటే మొత్తం వ్యక్తీకరణకు సున్నా విలువ ఉంటుంది. మోనోమియల్ వ్యాయామాల గురించి తెలుసుకోవడానికి ఒక విషయం ఉంటే, అది:
- ఒక మోనోమియల్‌కు గుణకం లేకపోతే, అది ఒకదానికి సమానం.
- ఏదైనా పదానికి ఘాతాంకం లేకపోతే, అది ఒకదానికి సమానం.
- ఏదైనా సాహిత్య భాగం లేనట్లయితే, కానీ అవసరమైతే, అది సున్నా యొక్క ఘాతాంకంతో పరిగణించబడుతుంది.
- ఈ ఏదీ ఏకీభవించకపోతే, మీరు మోనోమియల్ వ్యాయామాలను ఎదుర్కోకపోతే, బహుపదాలు మరియు మోనోమియల్స్ మధ్య వ్యాయామాలతో కూడా ఇదే నియమం ఉందని మీరు చెప్పవచ్చు.
మోనోమియల్స్ యొక్క సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
రెండు లీనియర్ మోనోమియల్స్ మధ్య మొత్తాలను నిర్వహించడానికి, సరళ భాగాన్ని ఉంచడం మరియు గుణకాలను జోడించడం అవసరం. రెండు సరళ మోనోమియల్స్ యొక్క వ్యవకలనాలలో, గుణకాలను తీసివేయగలిగేలా, మొత్తంలో ఉన్నట్లుగా, సరళ భాగాన్ని ఉంచాలి, అప్పుడు గుణకాలు గుణించబడతాయి మరియు ఘాతాంకాలు ఒకే స్థావరాలతో జతచేయబడతాయి.
మోనోమియల్స్ యొక్క గుణకారం
ఇది ఒక గుణకం, దీని గుణకం గుణకాల యొక్క ఉత్పత్తి లేదా ఫలితం, ఇది అక్షరాలా భాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఒకే బేస్ కలిగి ఉన్న శక్తుల గుణకారం ద్వారా పొందబడుతుంది.
మోనోమియల్స్ విభజన
ఇది మరొక మోనోమియల్ కంటే మరేమీ కాదు, దీని గుణకం పొందిన గుణకాల యొక్క కోటియంట్, అదనంగా, సరిగ్గా అదే ఆధారాన్ని కలిగి ఉన్న శక్తుల మధ్య విభజనల నుండి అక్షర భాగాన్ని పొందవచ్చు.
బహుపదాలు
మేము బహుపదాల గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, వేరియబుల్స్, స్థిరాంకాలు మరియు ఘాతాంకాలతో చేసిన అదనంగా, వ్యవకలనం మరియు ఆర్డర్‌ చేసిన గుణకారం యొక్క బీజగణిత ఆపరేషన్ను సూచిస్తాము. బీజగణితంలో, బహుపది ఒకటి కంటే ఎక్కువ వేరియబుల్ (x, y, z), స్థిరాంకాలు (పూర్ణాంకాలు లేదా భిన్నాలు) మరియు ఘాతాంకాలు (ఇవి సానుకూల పూర్ణాంకాలు మాత్రమే) కలిగి ఉంటాయి.
బహుపదాలు పరిమిత పదాలతో రూపొందించబడ్డాయి, ప్రతి పదం అవి తయారుచేసిన మూడు మూలకాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ: వేరియబుల్స్, స్థిరాంకాలు లేదా ఘాతాంకాలు. ఉదాహరణకు: 9, 9x, 9xy అన్నీ నిబంధనలు. నిబంధనలను గుర్తించడానికి మరొక మార్గం ఏమిటంటే అవి అదనంగా మరియు వ్యవకలనం ద్వారా వేరు చేయబడతాయి.
బహుపదాలను పరిష్కరించడానికి, సరళీకృతం చేయడానికి, జోడించడానికి లేదా తీసివేయడానికి, మీరు అదే వేరియబుల్స్‌తో నిబంధనలను చేరాలి, ఉదాహరణకు, x తో ఉన్న నిబంధనలు, “y” తో ఉన్న నిబంధనలు మరియు వేరియబుల్స్ లేని నిబంధనలు. అలాగే, పదానికి ముందు గుర్తును చూడటం చాలా ముఖ్యం, అది జోడించాలా, తీసివేయాలా, గుణించాలా అని నిర్ణయిస్తుంది. ఒకే వేరియబుల్స్ ఉన్న నిబంధనలు సమూహం చేయబడ్డాయి, జోడించబడ్డాయి లేదా తీసివేయబడతాయి.
బహుపదాల రకాలు
బహుపది కలిగి ఉన్న పదాల సంఖ్య అది ఏ రకమైన బహుపది అని సూచిస్తుంది, ఉదాహరణకు, ఒకే-పదం బహుపది ఉంటే, అది మోనోమియల్‌ను ఎదుర్కొంటుంది. దీనికి స్పష్టమైన ఉదాహరణ బహుపది వ్యాయామాలలో ఒకటి (8xy). రెండు-పదం బహుపది కూడా ఉంది, దీనిని ద్విపద అని పిలుస్తారు మరియు ఈ క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా గుర్తించబడుతుంది: 8xy - 2y.
చివరగా, మూడు పదాల యొక్క బహుపది, వీటిని త్రికోణికలు అని పిలుస్తారు మరియు 8xy - 2y + 4 యొక్క బహుపది వ్యాయామాలలో ఒకటి ద్వారా గుర్తించబడతాయి. త్రినామియల్స్ అనేది మూడు పదాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం ద్వారా ఏర్పడిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణ లేదా మోనోమియల్స్ (సారూప్య మోనోమియల్స్).
బహుపది డిగ్రీ గురించి మాట్లాడటం కూడా చాలా ముఖ్యం, ఎందుకంటే ఇది ఒకే వేరియబుల్ అయితే అది అతిపెద్ద ఘాతాంకం. ఒకటి కంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ కలిగిన బహుపది యొక్క డిగ్రీ గొప్ప ఘాతాంకం కలిగిన పదం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
బహుపదాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
బహుపదాల మొత్తం పదాలను కలపడం కలిగి ఉంటుంది. సారూప్య పదాలు ఒకే వేరియబుల్ లేదా వేరియబుల్స్ ఒకే శక్తికి పెంచబడిన మోనోమియల్స్‌ను సూచిస్తాయి.
బహుపది గణనలను నిర్వహించడానికి వివిధ మార్గాలు ఉన్నాయి, వీటిలో బహుపదాల మొత్తం, రెండు వేర్వేరు మార్గాల్లో చేయవచ్చు: అడ్డంగా మరియు నిలువుగా.
- బహుపదాల సమాంతరంగా: ఇది క్షితిజ సమాంతర కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, పునరుక్తి విలువైనది, కాని మొదట బహుపది వ్రాయబడుతుంది మరియు తరువాత అదే పంక్తిలో అనుసరించబడుతుంది. దీని తరువాత, జోడించబడే లేదా తీసివేయబడే ఇతర బహుపది వ్రాయబడి, చివరకు, ఇలాంటి పదాలు సమూహం చేయబడతాయి.
- బహుపది యొక్క నిలువు మొత్తం: ఇది మొదటి బహుపదిని ఆదేశించిన విధంగా వ్రాయడం ద్వారా సాధించబడుతుంది. ఇది అసంపూర్ణంగా ఉంటే, తప్పిపోయిన పదాల అంతరాలను ఉచితంగా ఉంచడం ముఖ్యం. అప్పుడు, తరువాతి బహుపది మునుపటిదానికి కొంచెం క్రింద వ్రాయబడుతుంది, ఈ విధంగా, పై పదానికి సమానమైన పదం క్రింద ఉంటుంది. చివరగా ప్రతి కాలమ్ జోడించబడుతుంది.
రెండు బహుపదాలను జోడించడానికి, ఒకే డిగ్రీ నిబంధనల యొక్క గుణకాలు తప్పనిసరిగా జోడించబడాలి. ఒకే డిగ్రీ యొక్క రెండు పదాలను జోడించిన ఫలితం ఒకే డిగ్రీ యొక్క మరొక పదం. ఏదైనా డిగ్రీ నుండి ఏదైనా పదం తప్పిపోయినట్లయితే, అది 0 తో పూర్తి చేయవచ్చు. మరియు అవి సాధారణంగా అత్యధిక నుండి తక్కువ డిగ్రీ వరకు ఆదేశించబడతాయి.
పైన చెప్పినట్లుగా, రెండు బహుపదాల మొత్తాన్ని నిర్వహించడానికి, ఒకే డిగ్రీ నిబంధనలను జోడించడం మాత్రమే అవసరం. ఈ ఆపరేషన్ యొక్క లక్షణాలు వీటితో రూపొందించబడ్డాయి:
- అనుబంధ లక్షణాలు: దీనిలో రెండు బహుపదాల మొత్తం ఒకే శక్తికి పెరిగే x లతో కూడిన గుణకాలను జోడించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.
- కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ: ఇది అదనంగా యొక్క క్రమాన్ని మారుస్తుంది మరియు ఫలితాన్ని తగ్గించలేము. తటస్థ మూలకాలు, వాటి గుణకాలు 0 కి సమానంగా ఉంటాయి. తటస్థ మూలకానికి బహుపదిని చేర్చినప్పుడు, ఫలితం మొదటిదానికి సమానం.
- వ్యతిరేక ఆస్తి: మొత్తం బహుపది గుణకాల యొక్క అన్ని విలోమ గుణకాలను కలిగి ఉన్న బహుపది ద్వారా ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, అదనంగా ఆపరేషన్ చేసేటప్పుడు, ఫలితం శూన్య బహుపది.
బహుపదాల వ్యవకలనానికి సంబంధించి, (బహుపదాలతో కార్యకలాపాలు) సమూహ మోనోమియల్స్ వారు కలిగి ఉన్న లక్షణాల ప్రకారం తప్పనిసరి మరియు సారూప్యమైన వాటి సరళీకరణతో ప్రారంభమవుతాయి. సబ్‌ట్రాహెండ్‌కు వ్యతిరేకతను మినియుఎండ్‌కు జోడించడం ద్వారా బహుపదాలతో కార్యకలాపాలు నిర్వహిస్తారు.
బహుపదిని తీసివేయడం ద్వారా కొనసాగడానికి మరొక సమర్థవంతమైన మార్గం ఏమిటంటే, ప్రతి బహుపదికి ఎదురుగా మరొకటి క్రింద వ్రాయడం. అందువల్ల, ఇలాంటి మోనోమియల్స్ నిలువు వరుసలలో ఉంటాయి మరియు మేము వాటిని జోడించడానికి ముందుకు వెళ్తాము. ఏ టెక్నిక్ చేసినా, చివరికి, ఫలితం సరిగ్గా ఒకే విధంగా ఉంటుంది, వాస్తవానికి, అది సరిగ్గా జరిగితే.
బహుపదాల గుణకారం
బహుపదాలు మరియు మోనోమియల్స్ మధ్య మోనోమియల్స్ లేదా వ్యాయామాల గుణకారం, ఇది ఒక మోనోమియల్ (ఒక సంఖ్య యొక్క గుణకారం ఆధారంగా బీజగణిత వ్యక్తీకరణ మరియు సానుకూల పూర్ణాంక ఘాతాంకానికి లేవనెత్తిన అక్షరం) మరియు మరొకటి మధ్య ఫలిత ఉత్పత్తిని కనుగొనటానికి నిర్వహించే ఆపరేషన్. వ్యక్తీకరణ, ఇది స్వతంత్ర పదం, మరొక మోనోమియల్ లేదా బహుపది (మోనోమియల్స్ మరియు స్వతంత్ర పదాల పరిమిత మొత్తం) అయితే.
ఏదేమైనా, దాదాపు అన్ని గణిత కార్యకలాపాల మాదిరిగానే, బహుపది యొక్క గుణకారం కూడా ప్రతిపాదిత ఆపరేషన్ను పరిష్కరించేటప్పుడు అనుసరించాల్సిన దశల శ్రేణిని కలిగి ఉంది, ఈ క్రింది విధానాలలో సంగ్రహించవచ్చు:
మొట్టమొదటిగా మోనోమియల్‌ను దాని వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించాలి (దాని ప్రతి నిబంధనల సంకేతాలను గుణించాలి). దీని తరువాత, గుణకం విలువలు గుణించబడతాయి మరియు ఆ ఆపరేషన్‌లో విలువ కనుగొనబడినప్పుడు, నిబంధనలలో కనిపించే మోనోమియల్స్ యొక్క సాహిత్యం జోడించబడుతుంది. అప్పుడు ప్రతి ఫలితం అక్షర క్రమంలో వ్రాయబడుతుంది మరియు చివరకు, ప్రతి ఘాతాంకం జతచేయబడుతుంది, ఇవి మూల అక్షరాలలో ఉంటాయి.
బహుపది విభాగం
దీనిని రుఫిని పద్ధతి అని కూడా అంటారు. ఇది ఒక బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు బహుపది యొక్క మూలాలను ద్విపదలుగా కారకంగా గుర్తించడానికి కూడా అనుమతిస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ సాంకేతికత డిగ్రీ n యొక్క బీజగణిత బహుపదిని, బీజగణిత ద్విపదగా, ఆపై డిగ్రీ n-1 యొక్క మరొక బీజగణిత బహుపదిగా విభజించడానికి లేదా కుళ్ళిపోవడానికి వీలు కల్పిస్తుంది. మరియు ఇది సాధ్యం కావాలంటే, వేరుచేయడం ఖచ్చితమైనదిగా ఉండటానికి, ప్రత్యేకమైన బహుపది యొక్క మూలాలలో ఒకదానిని తెలుసుకోవడం లేదా తెలుసుకోవడం అవసరం.
X - r రూపం యొక్క ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడానికి ఇది సమర్థవంతమైన సాంకేతికత. డివైజర్ సరళ కారకంగా ఉన్నప్పుడు రఫిని యొక్క నియమం సింథటిక్ విభజన యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. రఫిని యొక్క పద్ధతిని 1804 లో ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రవేత్త, ప్రొఫెసర్ మరియు వైద్యుడు పాలో రుఫిని వర్ణించారు, వీరు, రుఫిని నియమం అని పిలువబడే ప్రసిద్ధ పద్ధతిని కనిపెట్టడంతో పాటు, ఇది బహుపది యొక్క విచ్ఛిన్నత ఫలితం యొక్క గుణకాలను కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. ద్విపద; సమీకరణాల మూలాల యొక్క సుమారు గణనపై అతను ఈ పద్ధతిని కనుగొన్నాడు మరియు రూపొందించాడు.
ఎప్పటిలాగే, బీజగణిత ఆపరేషన్ విషయానికి వస్తే, రుఫిని యొక్క నియమం కావలసిన ఫలితాన్ని చేరుకోవటానికి నెరవేర్చాల్సిన దశల శ్రేణిని కలిగి ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో: ఏ రకమైన బహుపది మరియు a యొక్క విభజనలో అంతర్లీనంగా మరియు మిగిలిన భాగాన్ని కనుగొనడం. x + r రూపం యొక్క ద్విపద.
మొదట, ఆపరేషన్ ప్రారంభించేటప్పుడు, వ్యక్తీకరణలు రుఫిని రూల్ పద్ధతి ద్వారా form హించిన రూపానికి ప్రతిస్పందించే బహుపదాలు మరియు ద్విపదలుగా నిజంగా పరిగణించబడుతున్నాయో లేదో ధృవీకరించడానికి లేదా నిర్ధారించడానికి సమీక్షించాలి.
ఈ దశలను ధృవీకరించిన తర్వాత, బహుపదిని ఆదేశిస్తారు (అవరోహణ క్రమంలో). ఈ దశ తరువాత, బహుపది పదాల యొక్క గుణకాలు (స్వతంత్రమైనవి వరకు) మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోబడతాయి, వాటిని ఎడమ నుండి కుడికి వరుసగా ఉంచుతాయి. అవసరమైన పదాల కోసం కొన్ని ఖాళీలు మిగిలి ఉన్నాయి (అసంపూర్ణ బహుపది విషయంలో మాత్రమే). గాలీ గుర్తు వరుస యొక్క ఎడమ వైపున ఉంచబడుతుంది, ఇది డివిడెండ్ బహుపది యొక్క గుణకాలతో రూపొందించబడింది.
గ్యాలరీ యొక్క ఎడమ భాగంలో, ద్విపద యొక్క స్వతంత్ర పదాన్ని ఉంచడానికి మేము ముందుకు వెళ్తాము, ఇది ఇప్పుడు ఒక విభజన మరియు దాని గుర్తు విలోమంగా ఉంది. స్వతంత్రాన్ని బహుపది యొక్క మొదటి గుణకం ద్వారా గుణించాలి, తద్వారా మొదటి వరుస కంటే రెండవ వరుసలో నమోదు అవుతుంది. అప్పుడు రెండవ గుణకం మరియు మోనోమియల్ స్వతంత్ర పదం యొక్క ఉత్పత్తి మొదటి గుణకం ద్వారా తీసివేయబడుతుంది.
ద్విపద యొక్క స్వతంత్ర పదం మునుపటి వ్యవకలనం ఫలితంతో గుణించబడుతుంది. కానీ అదనంగా, ఇది రెండవ వరుసలో ఉంచబడుతుంది, ఇది నాల్గవ గుణకానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. అన్ని నిబంధనలు చేరే వరకు ఆపరేషన్ పునరావృతమవుతుంది. ఈ గుణకారాల ఆధారంగా పొందిన మూడవ అడ్డు వరుసను దాని చివరి పదం మినహా, ఒక విభాగంగా తీసుకుంటారు, ఇది డివిజన్ యొక్క మిగిలినదిగా పరిగణించబడుతుంది.
ఫలితం వ్యక్తీకరించబడుతుంది, వేరియబుల్ యొక్క ప్రతి గుణకం మరియు దానికి అనుగుణమైన డిగ్రీతో పాటు, వాటిని మొదట కలిగి ఉన్నదానికంటే తక్కువ డిగ్రీతో వ్యక్తీకరించడం ప్రారంభిస్తుంది.
- రిమైండర్ సిద్ధాంతం: ఇది బహుపది P (x) ను మరొకటి విభజించడానికి ఉపయోగించే ఒక ఆచరణాత్మక పద్ధతి, దీని రూపం xa; దీనిలో మిగిలిన విలువ మాత్రమే పొందబడుతుంది. ఈ నియమాన్ని వర్తింపచేయడానికి, ఈ క్రింది దశలను అనుసరిస్తారు. బహుపది డివిడెండ్ పూర్తి చేయకుండా లేదా క్రమం చేయకుండా వ్రాయబడుతుంది, అప్పుడు డివిడెండ్ యొక్క వేరియబుల్ x డివైజర్ యొక్క స్వతంత్ర పదం యొక్క వ్యతిరేక విలువతో భర్తీ చేయబడుతుంది. చివరకు, కార్యకలాపాలు కలయికతో పరిష్కరించబడతాయి.
మిగిలిన సిద్ధాంతం ఒక బీజగణిత విభజన యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని మనం పొందగల ఒక పద్ధతి, అయితే ఇందులో ఏ విభజన చేయవలసిన అవసరం లేదు.
- రుఫిని యొక్క పద్ధతి: రుఫిని యొక్క పద్ధతి లేదా నియమం ఒక బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించడానికి అనుమతించే ఒక పద్ధతి మరియు బహుపది యొక్క మూలాలను ద్విపదలలో కారకంగా గుర్తించడానికి కూడా అనుమతిస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ సాంకేతికత డిగ్రీ n యొక్క బీజగణిత బహుపదిని, బీజగణిత ద్విపదగా, ఆపై డిగ్రీ n-1 యొక్క మరొక బీజగణిత బహుపదిగా విభజించడానికి లేదా కుళ్ళిపోవడానికి వీలు కల్పిస్తుంది. మరియు ఇది సాధ్యం కావాలంటే, విభజన ఖచ్చితమైనదిగా ఉండటానికి, ప్రత్యేకమైన బహుపది యొక్క మూలాలలో కనీసం ఒకదానిని తెలుసుకోవడం లేదా తెలుసుకోవడం అవసరం.
- బహుపది మూలాలు: బహుపది యొక్క మూలాలు సున్నా విలువైన బహుపదిని తయారుచేసే కొన్ని సంఖ్యలు. పూర్ణాంక గుణకాల యొక్క బహుపది యొక్క పూర్తి మూలాలు స్వతంత్ర పదం యొక్క భాగాలుగా ఉంటాయని కూడా మేము చెప్పగలం. మేము సున్నాకి సమానమైన బహుపదిని పరిష్కరించినప్పుడు, మేము బహుపది యొక్క మూలాలను పరిష్కారంగా పొందుతాము. బహుపది యొక్క మూలాలు మరియు కారకాల యొక్క లక్షణంగా, బహుపది యొక్క సున్నాలు లేదా మూలాలు బహుపదికి చెందిన స్వతంత్ర పదం యొక్క విభజన ద్వారా అని మేము చెప్పగలం.
ఉదాహరణకు, xa రూపంలో మరొకటి ద్వారా బహుపది p (x) యొక్క విభజన యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని తెలుసుకోవడానికి ఇది మనలను అనుమతిస్తుంది. ఈ సిద్ధాంతం నుండి ఇది బహుపది p (x) ను xa ద్వారా విభజించగలదని, ఇది బహుపది యొక్క మూలం అయితే, p (a) = 0. ఉంటే మాత్రమే మరియు C (x) ఉంటే, R (x) ఏదైనా బహుపది p (x) ను ద్విపద ద్వారా విభజించడం యొక్క మిగిలిన భాగం (xa) p (x) యొక్క సంఖ్యా విలువ, x = a కొరకు, ఇది xa ద్వారా దాని విభజన యొక్క మిగిలిన భాగానికి సమానం.
అప్పుడు మనం ఇలా చెబుతాము : nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). సాధారణంగా, Xa ద్వారా మిగిలిన విభజనను పొందటానికి, x ను భర్తీ చేయడం కంటే రుఫిని నియమాన్ని వర్తింపచేయడం చాలా సౌకర్యంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, మిగిలిన సిద్ధాంతం సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత అనుకూలమైన పద్ధతి.
గణిత ప్రపంచంలో, రఫిని యొక్క నియమం x - r రూపం యొక్క ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడానికి సమర్థవంతమైన సాంకేతికత. డివైజర్ సరళ కారకంగా ఉన్నప్పుడు రఫిని యొక్క నియమం సింథటిక్ విభజన యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.
రఫిని యొక్క పద్ధతిని 1804 లో ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రవేత్త, ప్రొఫెసర్ మరియు వైద్యుడు పాలో రుఫిని వర్ణించారు, అతను రుఫిని నియమం అని పిలువబడే ప్రసిద్ధ పద్ధతిని కనిపెట్టడంతో పాటు, ఇది బహుపది యొక్క విచ్ఛిన్నత ఫలితం యొక్క గుణకాలను కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. ద్విపద; సమీకరణాల మూలాల యొక్క సుమారు గణనపై అతను ఈ పద్ధతిని కనుగొన్నాడు మరియు రూపొందించాడు.
అప్పుడు, ప్రతి మూలానికి, ఉదాహరణకు, x = రకం రకం (xa) యొక్క ద్విపదకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. మేము దానిని ఒక ఉత్పత్తిగా లేదా x = a, మూలాలకు అనుగుణమైన రకం (xa) యొక్క అన్ని ద్విపదలను వ్యక్తీకరిస్తే కారకాలలో బహుపదిని వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది. ద్విపద యొక్క ఘాతాంకాల మొత్తం బహుపది డిగ్రీకి సమానమని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, స్వతంత్ర పదం లేని ఏదైనా బహుపది రూట్ x = 0 గా అంగీకరిస్తుందని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, మరొక విధంగా, ఇది ఒకదిగా అంగీకరిస్తుంది X ఫాక్టర్.
కారకాలుగా కారకం అయ్యే అవకాశం లేనప్పుడు మేము బహుపదిని "ప్రైమ్" లేదా "ఇర్రెడ్యూసిబుల్" అని పిలుస్తాము.
ఈ అంశంపై లోతుగా పరిశోధన చేయడానికి బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం గురించి మనం స్పష్టంగా ఉండాలి, ఇది స్థిరమైన వేరియబుల్ మరియు సంక్లిష్ట గుణకాలలోని బహుపది దాని డిగ్రీకి ఎక్కువ మూలాలను కలిగి ఉంటే సరిపోతుంది, ఎందుకంటే మూలాలు వాటి గుణకాలను కలిగి ఉంటాయి. డిగ్రీ n యొక్క ఏదైనా బీజగణిత సమీకరణానికి n సంక్లిష్ట పరిష్కారాలు ఉన్నాయని ఇది నిర్ధారిస్తుంది. డిగ్రీ n యొక్క బహుపది గరిష్టంగా n వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
ఉదాహరణలు మరియు వ్యాయామాలు
ఈ విభాగంలో ఈ పోస్ట్‌లోని ప్రతి అంశాల యొక్క కొన్ని బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు పరిష్కరించబడిన వ్యాయామాలను ఉంచుతాము.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణల వ్యాయామాలు:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
బహుపదాల మొత్తం
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
బహుపదాల వ్యవకలనం
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
బహుపది విభాగం
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 మరియు
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. సి) = 2 వి
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు (ద్విపద స్క్వేర్డ్)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
రిమైండర్ సిద్ధాంతం
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
మోనోమియల్స్ యొక్క గుణకారం
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
మోనోమియల్స్ విభజన
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 మరియు
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. సి. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
మోనోమియల్స్ యొక్క సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
వ్యాయామం: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
పరిష్కారం: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
