సమీకరణాన్ని రెండు వ్యక్తీకరణల మధ్య ఉన్న గణిత సమానత్వం అంటారు, ఇది తెలిసిన (డేటా) మరియు తెలియని (తెలియని) రెండూ వేర్వేరు అంశాలతో రూపొందించబడింది, ఇవి గణిత సంఖ్యా కార్యకలాపాల ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. డేటా సాధారణంగా గుణకాలు, వేరియబుల్స్, సంఖ్యలు మరియు స్థిరాంకాలచే సూచించబడుతుంది, అయితే తెలియనివి అక్షరాల ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు సమీకరణం ద్వారా మీరు అర్థంచేసుకోవాలనుకునే విలువను సూచిస్తాయి. సమీకరణాలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి, ప్రధానంగా గణిత లేదా భౌతిక చట్టాల యొక్క ఖచ్చితమైన రూపాలను చూపించడానికి, ఇవి చరరాశులను వ్యక్తపరుస్తాయి.
సమీకరణం అంటే ఏమిటి
విషయ సూచిక
ఈ పదం లాటిన్ "అక్వాటియో" నుండి వచ్చింది, దీని అర్ధం సమానతను సూచిస్తుంది. ఈ వ్యాయామం రెండు వ్యక్తీకరణల మధ్య ఉన్న గణిత సమానత్వం, వీటిని సభ్యులు అని పిలుస్తారు, కాని అవి ఒక సంకేతం (=) ద్వారా వేరు చేయబడతాయి, వీటిలో, తెలిసిన అంశాలు మరియు గణిత కార్యకలాపాల ద్వారా సంబంధించిన కొన్ని డేటా లేదా తెలియనివి ఉన్నాయి. విలువలు సంఖ్యలు, స్థిరాంకాలు లేదా గుణకాలు, అయినప్పటికీ అవి వెక్టర్స్ లేదా వేరియబుల్స్ వంటి వస్తువులు కావచ్చు.
మూలకాలు లేదా తెలియనివి ఇతర సమీకరణాల ద్వారా స్థాపించబడతాయి, కానీ సమీకరణ పరిష్కార విధానంతో. సమీకరణాల వ్యవస్థ వేర్వేరు పద్ధతుల ద్వారా అధ్యయనం చేయబడుతుంది మరియు పరిష్కరించబడుతుంది, వాస్తవానికి, చుట్టుకొలత యొక్క సమీకరణంతో కూడా ఇది జరుగుతుంది.
సమీకరణాల చరిత్ర
గణిత డేటాను ఉపయోగించిన మొట్టమొదటి వాటిలో ఈజిప్టు నాగరికత ఒకటి, ఎందుకంటే 16 వ శతాబ్దం నాటికి వారు ఈ వ్యవస్థను ఇప్పటికే ఆహార పంపిణీకి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించారు, వాటిని సమీకరణాలు అని పిలవకపోయినా, ఇది ప్రస్తుత కాలానికి సమానం అని చెప్పవచ్చు.
చైనీయులకు కూడా ఇటువంటి గణిత పరిష్కారాల పరిజ్ఞానం ఉంది, ఎందుకంటే యుగం ప్రారంభంలో వారు రెండవ మరియు మొదటి తరగతి వ్యాయామాలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను ప్రతిపాదించిన ఒక పుస్తకం రాశారు.
మధ్య యుగాలలో, గణిత తెలియనివారికి గొప్ప ప్రోత్సాహం ఉంది, ఎందుకంటే అవి అప్పటి నిపుణులైన గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ప్రజా సవాళ్లుగా ఉపయోగించబడ్డాయి. 16 వ శతాబ్దంలో, ఇద్దరు ముఖ్యమైన గణిత శాస్త్రవేత్తలు రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ డిగ్రీ డేటాను పరిష్కరించడానికి inary హాత్మక సంఖ్యలను ఉపయోగించడాన్ని కనుగొన్నారు.
ఆ శతాబ్దంలో రెనే డెస్కార్టెస్ శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానాన్ని ప్రసిద్ధిచెందారు, దీనికి తోడు, ఈ చారిత్రక దశలో గణితంలో అత్యంత ప్రాచుర్యం పొందిన సిద్ధాంతాలలో ఒకటి కూడా "ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం" గా బహిరంగపరచబడింది.
పదిహేడవ శతాబ్దంలో శాస్త్రవేత్తలు గాట్ఫ్రైడ్ లీబ్నిజ్ మరియు ఐజాక్ న్యూటన్ అవకలన తెలియని పరిష్కారాన్ని సాధ్యం చేసారు, ఇది ఆ నిర్దిష్ట సమీకరణాలకు సంబంధించి ఆ సమయంలో సంభవించిన అనేక ఆవిష్కరణలకు దారితీసింది.
ఐదవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలకు పరిష్కారం కోసం 19 వ శతాబ్దం ప్రారంభం వరకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు చేసిన ప్రయత్నాలు చాలా ఉన్నాయి, కాని ఐదవ డిగ్రీని లెక్కించడానికి సాధారణ సూత్రం లేదని నీల్స్ హెన్రిక్ అబెల్ కనుగొనే వరకు అన్నీ విఫల ప్రయత్నాలు. ఈ సమయంలో భౌతికశాస్త్రం సమగ్ర మరియు ఉత్పన్నమైన తెలియని వాటిలో అవకలన డేటాను ఉపయోగించింది, ఇది గణిత భౌతిక శాస్త్రానికి దారితీసింది.
ఇరవయ్యవ శతాబ్దంలో, క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో ఉపయోగించే సంక్లిష్ట ఫంక్షన్లతో మొదటి అవకలన సమీకరణాలు రూపొందించబడ్డాయి, ఇవి ఆర్థిక సిద్ధాంతంలో విస్తృత అధ్యయన రంగాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.
క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో సాపేక్ష తరంగాల అధ్యయనాలలో భాగమైన డైరాక్ సమీకరణానికి కూడా సూచన ఇవ్వాలి మరియు దీనిని 1928 లో పాల్ డిరాక్ రూపొందించారు. డైరాక్ సమీకరణం ప్రత్యేక సాపేక్షత సిద్ధాంతానికి పూర్తిగా అనుగుణంగా ఉంటుంది.
సమీకరణ లక్షణాలు
ఈ వ్యాయామాలలో నిర్దిష్ట లక్షణాలు లేదా అంశాల శ్రేణి కూడా ఉంది, వాటిలో, సభ్యులు, నిబంధనలు, తెలియనివి మరియు పరిష్కారాలు. సభ్యులు సమాన సంకేతాల పక్కన ఉన్న వ్యక్తీకరణలు. నిబంధనలు సభ్యులలో భాగమైన అనుబంధాలు, అదేవిధంగా, తెలియనివారు అక్షరాలను సూచిస్తారు మరియు చివరకు, పరిష్కారాలను సూచిస్తారు, ఇవి సమానత్వాన్ని ధృవీకరించే విలువలను సూచిస్తాయి.
సమీకరణాల రకాలు
వివిధ స్థాయిల విద్యలో బోధించిన వివిధ రకాల గణిత వ్యాయామాలు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, రేఖ యొక్క సమీకరణం, రసాయన సమీకరణం, బ్యాలెన్సింగ్ సమీకరణాలు లేదా విభిన్న సమీకరణాలు, అయితే, వీటిని వర్గీకరించినట్లు పేర్కొనడం ముఖ్యం బీజగణిత డేటా, ఇది మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీ, డయోఫాంటైన్ మరియు హేతుబద్ధమైనది.
బీజగణిత సమీకరణాలు
ఇది P (x) = 0 రూపంలో వ్యక్తీకరించబడిన ఒక మదింపు, దీనిలో P (x) అనేది బహుపది, ఇది శూన్యమైనది కాని స్థిరంగా ఉండదు మరియు డిగ్రీ n ≥ 2 తో పూర్ణాంక గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది.
- లీనియర్: ఇది మొదటి శక్తిలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న సమానత్వం మరియు ఈ వేరియబుల్స్ మధ్య ఉత్పత్తులు అవసరం లేదు.
- క్వాడ్రాటిక్: దీనికి ax 0 ఉన్న అక్షం + బిఎక్స్ + సి = 0 యొక్క వ్యక్తీకరణ ఉంది. ఇక్కడ వేరియబుల్ x, యా, బి మరియు సి స్థిరాంకాలు, చతురస్రాకార గుణకం a, ఇది 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. సరళ గుణకం b మరియు పదం స్వతంత్రమైనది సి.
ఇది పారాబొలా యొక్క సమీకరణం ద్వారా వివరించబడే బహుపది.
- క్యూబిక్: తెలియని క్యూబిక్ డేటా మూడవ డిగ్రీలో a, b, c మరియు d (a ≠ 0) తో ప్రతిబింబిస్తుంది, దీని సంఖ్యలు నిజమైన లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యల శరీరంలో భాగం, అయినప్పటికీ, అవి హేతుబద్ధమైన అంకెలను కూడా సూచిస్తాయి.
- ద్విపద: ఇది ఒకే వేరియబుల్, నాల్గవ డిగ్రీ బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది కేవలం మూడు పదాలను కలిగి ఉంది: డిగ్రీ 4 లో ఒకటి, డిగ్రీ 2 లో ఒకటి మరియు స్వతంత్ర పదం. బిక్వాడ్ వ్యాయామం యొక్క ఉదాహరణ క్రిందివి: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
ఇది ఈ పేరును అందుకుంది ఎందుకంటే ఇది రిజల్యూషన్ స్ట్రాటజీని వివరించడానికి ముఖ్య భావన ఏమిటో వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది: ద్వి-చదరపు అంటే: "రెండుసార్లు చతురస్రం." మీరు దాని గురించి ఆలోచిస్తే, x4 అనే పదాన్ని (x 2) 2 కి పెంచవచ్చు, ఇది మాకు x4 ఇస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తెలియని ప్రముఖ పదం 3 × 4 అని imagine హించుకోండి. అదేవిధంగా, ఈ పదాన్ని 3 (x2) 2 అని కూడా వ్రాయవచ్చని చెప్పడం సరైనది.
- డయోపాంథైన్స్: ఇది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ తెలియని బీజగణిత వ్యాయామం, అదనంగా, దాని గుణకాలు సహజ లేదా పూర్ణాంక పరిష్కారాలను కోరుకునే అన్ని పూర్ణాంకాలను కలిగి ఉంటాయి. ఇది వారిని మొత్తం సంఖ్య సమూహంలో భాగం చేస్తుంది.
ఈ వ్యాయామాలు తగినంత మరియు అవసరమైన స్థితి యొక్క ఆస్తితో గొడ్డలి + ద్వారా = సి వలె ప్రదర్శించబడతాయి, తద్వారా గొడ్డలి + ద్వారా = సి, పూర్ణాంకాలకు చెందిన a, b, c తో ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది.
- హేతుబద్ధత: అవి బహుపదాల యొక్క మూలకం వలె నిర్వచించబడతాయి, అదే వాటిలో హారం కనీసం 1 డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది. ప్రత్యేకంగా మాట్లాడుతూ , హారం లో ఒక వేరియబుల్ కూడా ఉండాలి. హేతుబద్ధమైన పనితీరును సూచించే సాధారణ రూపం:
దీనిలో p (x) మరియు q (x) బహుపదాలు మరియు q (x) ≠ 0.
- సమానతలు: ఇది రెండు గణిత వ్యక్తీకరణల మధ్య గణిత సమానత్వంతో కూడిన వ్యాయామం, దీనిని సభ్యులు అని పిలుస్తారు, దీనిలో తెలిసిన అంశాలు లేదా డేటా కనిపిస్తుంది మరియు గణిత కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన తెలియని అంశాలు లేదా తెలియనివి. సమీకరణం యొక్క విలువలు సంఖ్యలు, గుణకాలు లేదా స్థిరాంకాలతో ఉండాలి; వెక్టర్స్ లేదా ఫంక్షన్ల వంటి వేరియబుల్స్ లేదా సంక్లిష్ట వస్తువులు వంటివి, కొత్త మూలకాలు వ్యవస్థ యొక్క ఇతర సమీకరణాల ద్వారా లేదా ఫంక్షన్లను పరిష్కరించడానికి కొన్ని ఇతర విధానాల ద్వారా ఏర్పాటు చేయాలి.
పరివర్తన సమీకరణాలు
ఇది గణిత కార్యకలాపాల ద్వారా సంబంధం ఉన్న ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ తెలియని రెండు గణిత వ్యక్తీకరణల మధ్య సమానత్వం తప్ప మరొకటి కాదు, ఇవి ప్రత్యేకంగా బీజగణితం మరియు బీజగణితం యొక్క నిర్దిష్ట లేదా సరైన సాధనాలను ఉపయోగించి ఇవ్వలేని పరిష్కారం కలిగి ఉంటాయి. H (x) = j (x) అనే వ్యాయామం H (x) లేదా j (x) ఫంక్షన్లలో ఒకటి బీజగణితం కానప్పుడు అతీంద్రియంగా పిలువబడుతుంది.
అవకలన సమీకరణాలు
వాటిలో విధులు వాటి ప్రతి ఉత్పన్నాలకు సంబంధించినవి. విధులు కొన్ని భౌతిక పరిమాణాలను సూచిస్తాయి, మరోవైపు, ఉత్పన్నాలు మార్పు రేటును సూచిస్తాయి, అయితే సమీకరణం వాటి మధ్య సంబంధాన్ని నిర్వచిస్తుంది. కెమిస్ట్రీ, బయాలజీ, ఫిజిక్స్, ఇంజనీరింగ్ మరియు ఎకనామిక్స్ సహా అనేక ఇతర విభాగాలలో తరువాతివి చాలా ముఖ్యమైనవి.
సమగ్ర సమీకరణాలు
ఈ డేటా యొక్క ఫంక్షన్లలో తెలియనివి నేరుగా సమగ్ర భాగంలో కనిపిస్తాయి. సమగ్ర మరియు అవకలన వ్యాయామాలకు చాలా సంబంధాలు ఉన్నాయి, కొన్ని గణిత సమస్యలను కూడా ఈ రెండింటిలోనూ రూపొందించవచ్చు, దీనికి ఉదాహరణ మాక్స్వెల్ విస్కోలాస్టిసిటీ మోడల్.
ఫంక్షనల్ సమీకరణాలు
ఇది తెలియని విధులు మరియు స్వతంత్ర చరరాశులను కలపడం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, అదనంగా, దాని విలువ మరియు వ్యక్తీకరణ రెండూ పరిష్కరించబడాలి.
రాష్ట్ర సమీకరణాలు
ఇవి హైడ్రోస్టాటిక్ వ్యవస్థల కోసం నిర్మాణాత్మక వ్యాయామాలు, ఇవి పదార్థం యొక్క సాధారణ స్థితిని లేదా పెరుగుదలను వివరిస్తాయి, అదనంగా, ఇది వాల్యూమ్, ఉష్ణోగ్రత, సాంద్రత, పీడనం, రాష్ట్ర విధులు మరియు పదార్థంతో సంబంధం ఉన్న అంతర్గత శక్తి మధ్య సంబంధాన్ని సూచిస్తుంది..
చలన సమీకరణాలు
ఇది ఉంది గణిత ప్రకటన వ్యవస్థ మార్పును ప్రోత్సహించడం ఇతర శారీరక కొలతలు, సిస్టమ్ యొక్క భౌతిక రాష్ట్ర గుర్తించడానికి చరాంశాల వేరియబుల్ లేదా సమూహం యొక్క స్వల్పకాల అభివృద్ధి వివరిస్తూ. భౌతిక బిందువు యొక్క డైనమిక్స్‌లోని ఈ సమీకరణం వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి, వేగం లేదా దాని కదలికను ప్రభావితం చేసే ఏదైనా ఇతర వేరియబుల్స్ ఆధారంగా భవిష్యత్ స్థితిని నిర్వచిస్తుంది.
భౌతిక శాస్త్రంలో చలన సమీకరణానికి మొదటి ఉదాహరణ న్యూటన్ యొక్క రెండవ సూత్రాన్ని కణాలు మరియు పాయింట్ పదార్థాలతో రూపొందించిన భౌతిక వ్యవస్థల కోసం ఉపయోగించడం.
రాజ్యాంగ సమీకరణాలు
ఇది భౌతిక వ్యవస్థలో ఉన్న యాంత్రిక లేదా థర్మోడైనమిక్ వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం కంటే మరేమీ కాదు, అనగా ఉద్రిక్తత, పీడనం, వైకల్యం, వాల్యూమ్, ఉష్ణోగ్రత, ఎంట్రోపీ, సాంద్రత మొదలైనవి ఉన్నాయి. అన్ని పదార్ధాలు చాలా ప్రత్యేకమైన రాజ్యాంగ గణిత సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఇది అంతర్గత పరమాణు సంస్థపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సమీకరణ పరిష్కారం
సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, వాటి పరిష్కార డొమైన్‌ను కనుగొనడం పూర్తిగా అవసరం, అనగా, తెలియని వారి విలువల సమితి లేదా సమూహం వారి సమానత్వం నెరవేరుతుంది. ఈక్వేషన్ కాలిక్యులేటర్ యొక్క ఉపయోగం ఉపయోగించవచ్చు ఎందుకంటే ఈ సమస్యలు సాధారణంగా ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వ్యాయామాలలో వ్యక్తమవుతాయి.
ఈ వ్యాయామాలన్నింటికీ పరిష్కారం లేదని కూడా చెప్పడం చాలా ముఖ్యం, ఎందుకంటే తెలియని వాటిలో విలువలు లేవని, అది పొందిన సమానత్వాన్ని ధృవీకరిస్తుంది. ఈ రకమైన సందర్భంలో, వ్యాయామాల పరిష్కారాలు ఖాళీగా ఉంటాయి మరియు ఇది పరిష్కరించలేని సమీకరణంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.
సమీకరణాల ఉదాహరణలు
- కదలిక: గంటకు పావుగంటలో 50 కిలోమీటర్లు ప్రయాణించడానికి రేసింగ్ కారు ఏ వేగంతో ప్రయాణించాలి? దూరం కిలోమీటర్లలో వ్యక్తీకరించబడుతున్నందున, గంటకు కిమీ / గం వేగంతో ఉండటానికి సమయాన్ని గంట యూనిట్లలో వ్రాయాలి. స్పష్టంగా ఉండటం, అప్పుడు ఉద్యమం కొనసాగే సమయం:
దూరం కారు ప్రయాణిస్తుంది ఉంది:
దీని వేగం తప్పనిసరిగా ఉండాలి:
సూత్రం:
అందువల్ల, మేము "n" ను వదిలివేయాలి, మరియు మేము పొందాలి:
అప్పుడు డేటా ప్రత్యామ్నాయం:
మరియు మొత్తం మోల్ సంఖ్య మొత్తం 13.64 మోల్స్ ఉంది.
ఇప్పుడు ద్రవ్యరాశిని లెక్కించాలి. ఇది హైడ్రోజన్ వాయువు కాబట్టి, దాని అణు బరువు లేదా మోలార్ ద్రవ్యరాశికి సూచన చేయాలి, ఇది రెండు హైడ్రోజన్ అణువులతో కూడిన డయాటోమిక్ అణువు.
దీని పరమాణు బరువు 2 గ్రా / మోల్ (దాని డయాటోమిక్ లక్షణం కారణంగా), అప్పుడు అది పొందబడుతుంది:
అంటే 27.28 గ్రాముల ద్రవ్యరాశి లభించింది.
- రాజ్యాంగ: దృ g మైన పుంజానికి 3 బార్లు జతచేయబడతాయి. డేటా: పి = 15,000 ఎల్బిఎఫ్, ఎ = 5 అడుగులు, బి = 5 అడుగులు, సి = 8 అడుగులు (1 అడుగులు = 12 అంగుళాలు).
దీనికి పరిష్కారం ఏమిటంటే, చిన్న వైకల్యాలు ఉన్నాయని మరియు స్క్రూ పూర్తిగా దృ is ంగా ఉందని భావించబడుతుంది, అందుకే P శక్తిని ప్రయోగించేటప్పుడు బీమ్ AB పాయింట్ B ప్రకారం కఠినంగా తిరుగుతుంది.
